Giải Phương Trình Ma Trận

Mời các bạn cùng tìm hiểu thêm nội dung bài bác giảng Bài 1: Hệ phương trình tuyến đường tính dưới đây để tìm hiểu về dạng trình diễn ma trận, giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất,...

Bạn đang xem: Giải phương trình ma trận


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình tuyến đường tính bằng cách thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình đường tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường đúng theo tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến đường tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Khi đó, hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) hotline là ma trận hệ sổ của hệ phương trình.Ma trận(overline A = (A|B)) gọi là ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ phương trình.X hotline là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương trình con đường tính bằng cách thức Gauss.


Một phương thức thông dụng để giải hệ phương trình đường tính là cách thức Gauss, gửi ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang hay lan can thu gọn, nhờ những phép biến hóa sơ cung cấp trên dòng.

Xem thêm:

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta gồm hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Như thế, hệ phương trình bao gồm vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta gồm hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ bao gồm nghiệm tốt nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta gồm hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ bao gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm vô số nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k khi đó, hệ phương trình bao gồm k ẩn bao gồm ứng cùng với k thành phần dẫn đầu và n - k ẩn từ bỏ do, được đưa sang vế phải.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ bao gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ tất cả vô số nghiệm với 2 ẩn thiết yếu ứng cùng với 2 bộ phận dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta có hệ phương trình gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương trình tuyến đường tính AX = B được điện thoại tư vấn là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông ko suy đổi mới , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Khi đó, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A khá béo thì việc tìm(A^-1) tương đổi phức tạp. Rộng nữa, tất cả khi ta chi cần tìm một vài ẩn (x_j) vậy vì cục bộ các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Trường đoản cú đó, người ta tìm thấy công thúc tính từng ẩn (x_j) nhờ vào công thức (X = A^-1B) như sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã đạt được từ A bằng phương pháp thay cột j bởi vế bắt buộc (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.


Hệ phương trình đường tính AX = 0 hotline là hệ thuần nhất. Ngoại trừ các tính chất chung của hệ AX = B, hệ thuần tốt nhất AX = 0 còn tồn tại các đặc điểm riêng như sau :

Hệ luôn luôn luôn bao gồm nghiệm bình bình X = 0 (không gồm trường vừa lòng hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy trở nên thì hệ gồm nghiệm tuyệt nhất (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm khoảng thường.Nếu hệ tất cả vô số nghiệm thì tập nghiệm là một không khí con của ko gian(R^n) (với n là số ẩn). Một cửa hàng của không gian nghiệm được gọi là một trong hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, đề xuất hệ tất cả nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:(X = ( - alpha ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bạn dạng là (-1;-2;1). Số chiều của không gian nghiệm là 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm bao quát là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.