BÀI TẬP ĐẠO HÀM LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO

30. Chứng minh rằng hàm số y = $sin^6$x + $cos^6$x + 3$sin^2$x$cos^2$x tất cả đạo hàm bằng 0.

Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm lượng giác nâng cao

Giải

31. Tìm đạo hàm của những hàm số sau :

Giải

32. minh chứng rằng :

a) Hàm số y = tanx vừa lòng hệ thức y" - $y^2$ - 1 = 0

b) Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức y + 2$y^2$ + 2 = 0

Giải

a) y" = 1 + $tan^2$x. Vì thế y" - $y^2$ - 1 = (1 + $tan^2$x) - $tan^2$x - 1 = 0

b) y" = -2(1 + $cot^2$2x). Cho nên vì vậy y" + 2$y^2$ + 2 = - 2(1 + $cot^2$2x) + 2$cot^2$2x + 2 = 0

33. tìm kiếm đạo hàm của từng hàm số sau :

Giải

34. Tính f"($pi$) ví như

Giải

Với đầy đủ x làm sao để cho cosx - xsinx $ eq$ 0, ta có :

35. Giải phương trình y" = 0 trong những trường hòa hợp sau :

a) y = sin2x - 2cosx ;

b) y = 3sin2x + 4cos2x + 10x ;

c) y = $cos^2$x + sinx ;

d) y = tanx + cotx.

Giải

a) với tất cả x $in$ R, ta gồm : y" = 2cos2x + 2sinx = 2(1 - 2$sin^2$x) + 2sinx

Vậy y" = 0 ⇔ 2$sin^2$x - sinx - 1 = 0

b) với đa số x $in$ R, ta tất cả : y" = 6cos2x – 8sin2x + 10

Vậy y" = 0 ⇔ 4sin2x – 3cos2x = 5

Vì

nên có số $alpha$ sao cho

Thay vào (1), ta được :

c) với đa số x $in$ R, ta bao gồm : y" = - 2cosxsinx + cosx = cosx(1 - 2sinx)

y" = 0 ⇔ cosx(1 - 2sinx) = 0 ⇔ cosx = 0 hoặc 1 - 2sinx = 0

Vậy đáp số là

36. Cho hàm số f(x) = 2$cos^2$(4x - 1). Chứng tỏ rằng với tất cả x ta gồm $mid$ f"(x) $mid$ $leq$ 8. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Xem thêm:

Giải

Với phần lớn x $in$ R, ta có:

f"(x) = 2.2cos(4x - 1). <-sin(4x - 1)>4 = - 8sin2(4x - 1)

Suy ra $mid$(f"(x)$mid$ = 8 $mid$sin2(4x - 1)$mid$ $leq$ 8.

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi:

37. cho mạch điện như hình vẽ. Ban sơ tụ điện gồm điện tích $Q_0$. Khi đóng góp khóa K, tụ năng lượng điện phóng điện qua cuộn dây, điện tích q của tụ điện dựa vào vào thời hạn t theo công thức q(t) = $Q_0$sin$omega$t, vào đó, $omega$ là tốc độ góc. Hiểu được cường độ I(t) của mẫu điện tại thời điểm t được xem theo cách làm I(t) = q"(t).

Cho biết $Q_0$ = $10^-8$C với $omega$ = $10^6$$pi$ rad/s. Hãy tính độ mạnh của chiếc điện tại thời khắc t = 6s (tính đúng chuẩn đến $10^-5$mA).

Giải

Cường độ loại điện tại thời khắc t là :

I(t) = q"(t) = $Q_0$$omega$cos$omega$t

Khi $Q_0$ = $10^-8$C cùng $omega$ = $10^6$$pi$ rad/s thì cường độ loại điện tại thời điểm t = 6s là :

38. Cho hàm số y = $cos^2$x + msinx (m là tham số) bao gồm đồ thị là (C). Tra cứu m trong mỗi trường thích hợp sau:

a) Tiếp tuyến đường của (C) trên điểm cùng với hoành độ x = $pi$ có thông số góc bởi 1.

b) nhị tiếp đường của (C) tại các điểm gồm hoành độ

tuy vậy song cùng nhau hoặc trùng nhau.